多层感知机

隐藏层

我们可以通过在网络中加入一个或多个隐藏层来克服线性模型的限制， 使其能处理更普遍的函数关系类型。 要做到这一点，最简单的方法是将许多全连接层堆叠在一起。 每一层都输出到上面的层，直到生成最后的输出。 我们可以把前L-1层看作表示，把最后一层看作线性预测器。 这种架构通常称为多层感知机（multilayer perceptron），通常缩写为MLP。 下面，我们以图的方式描述了多层感知机

这个多层感知机有4个输入，3个输出，其隐藏层包含5个隐藏单元。 输入层不涉及任何计算，因此使用此网络产生输出只需要实现隐藏层和输出层的计算。 因此，这个多层感知机中的层数为2。 注意，这两个层都是全连接的。 每个输入都会影响隐藏层中的每个神经元， 而隐藏层中的每个神经元又会影响输出层中的每个神经元。

我们通过矩阵 $ X \in R^{n \times d}$ 来表示个n样本的小批量， 其中每个样本具有个d输入特征， 对于具有h个隐藏单元的单隐藏层多层感知机， 用$ H \in R^{n \times h}$表示隐藏层的输出， 称为隐藏表示。 因为隐藏层和输出层都是全连接的， 所以我们有隐藏层权重 $ W^{(1)} \in R^{d \times h}$和隐藏层偏置 $ b^{(1)} \in R^{1 \times h}$以及输出层权重$ W^{(2)} \in R^{h \times q}$ 和输出层偏置$ b^{(2)} \in R^{1 \times q}$。 形式上，我们按如下方式计算单隐藏层多层感知机的输出 ：

合并隐藏层:

为了发挥多层架构的潜力， 我们还需要一个额外的关键要素： 在仿射变换之后对每个隐藏单元应用非线性的激活函数（activation function）$ \sigma $。 激活函数的输出被称为活性值（activations）。 一般来说，有了激活函数，就不可能再将我们的多层感知机退化成线性模型：

为了构建更通用的多层感知机， 我们可以继续堆叠这样的隐藏层, 一层叠一层，从而产生更有表达能力的模型。

激活函数

激活函数（activation function）通过计算加权和并加上偏置来确定神经元是否应该被激活， 它们将输入信号转换为输出的可微运算。 大多数激活函数都是非线性的。 由于激活函数是深度学习的基础，下面简要介绍一些常见的激活函数。

ReLU函数

最受欢迎的激活函数是修正线性单元（Rectified linear unit，ReLU）， 因为它实现简单，同时在各种预测任务中表现良好。 ReLU提供了一种非常简单的非线性变换。 给定元素x，ReLU函数被定义为该元素与0的最大值：

通俗地说，ReLU函数通过将相应的活性值设为0，仅保留正元素并丢弃所有负元素。 为了直观感受一下，我们可以画出函数的曲线图。

import torch
from d2l import torch as d2l

x = torch.arange(-8.0, 8.0, 0.1, requires_grad=True)
y = torch.relu(x)
d2l.plot(x.detach(), y.detach(), 'x', 'relu(x)', figsize=(5, 2.5))

当输入为负时，ReLU函数的导数为0，而当输入为正时，ReLU函数的导数为1。 注意，当输入值精确等于0时，ReLU函数不可导。下面我们绘制ReLU函数的导数。

y.backward(torch.ones_like(x), retain_graph=True)
d2l.plot(x.detach(), x.grad, 'x', 'grad of relu', figsize=(5, 2.5))

使用ReLU的原因是，它求导表现得特别好：要么让参数消失，要么让参数通过。 这使得优化表现得更好，并且ReLU减轻了困扰以往神经网络的梯度消失问题; 注意，ReLU函数有许多变体，包括参数化ReLU（Parameterized ReLU，pReLU） 函数。 该变体为ReLU添加了一个线性项，因此即使参数是负的，某些信息仍然可以通过：

sigmoid 函数

对于一个定义域在R中的输入， sigmoid函数将输入变换为区间(0, 1)上的输出。 因此，sigmoid通常称为挤压函数（squashing function）： 它将范围（-inf, inf）中的任意输入压缩到区间（0, 1）中的某个值：

sigmoid函数是一个自然的选择，因为它是一个平滑的、可微的阈值单元近似。当我们想要将输出视作二元分类问题的概率时， sigmoid仍然被广泛用作输出单元上的激活函数 （sigmoid可以视为softmax的特例）。 然而，sigmoid在隐藏层中已经较少使用， 它在大部分时候被更简单、更容易训练的ReLU所取代。下面，我们绘制sigmoid函数。 注意，当输入接近0时，sigmoid函数接近线性变换。

y = torch.sigmoid(x)
d2l.plot(x.detach(), y.detach(), 'x', 'sigmoid(x)', figsize=(5, 2.5))

sigmoid函数的导数为下面的公式：

sigmoid函数的导数图像如下所示。 注意，当输入为0时，sigmoid函数的导数达到最大值0.25； 而输入在任一方向上越远离0点时，导数越接近0。

# 清除以前的梯度
x.grad.data.zero_()
y.backward(torch.ones_like(x),retain_graph=True)
d2l.plot(x.detach(), x.grad, 'x', 'grad of sigmoid', figsize=(5, 2.5))

tanh函数

与sigmoid函数类似， tanh(双曲正切)函数也能将其输入压缩转换到区间(-1, 1)上。 tanh函数的公式如下：

下面我们绘制tanh函数。 注意，当输入在0附近时，tanh函数接近线性变换。 函数的形状类似于sigmoid函数， 不同的是tanh函数关于坐标系原点中心对称。

y = torch.tanh(x)
d2l.plot(x.detach(), y.detach(), 'x', 'tanh(x)', figsize=(5, 2.5))

tanh函数的导数是：

当输入接近0时，tanh函数的导数接近最大值1。 与我们在sigmoid函数图像中看到的类似， 输入在任一方向上越远离0点，导数越接近0。

# 清除以前的梯度
x.grad.data.zero_()
y.backward(torch.ones_like(x),retain_graph=True)
d2l.plot(x.detach(), x.grad, 'x', 'grad of tanh', figsize=(5, 2.5))

实现

我们将继续使用Fashion-MNIST图像分类数据集

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

初始化模型参数

Fashion-MNIST中的每个图像由 28x28个灰度像素值组成。 所有图像共分为10个类别。 忽略像素之间的空间结构， 我们可以将每个图像视为具有784个输入特征 和10个类的简单分类数据集。首先，我们将实现一个具有单隐藏层的多层感知机， 它包含256个隐藏单元。 注意，我们可以将这两个变量都视为超参数。 通常，我们选择2的若干次幂作为层的宽度。 因为内存在硬件中的分配和寻址方式，这么做往往可以在计算上更高效。我们用几个张量来表示我们的参数。 注意，对于每一层我们都要记录一个权重矩阵和一个偏置向量。 跟以前一样，我们要为损失关于这些参数的梯度分配内存。

num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256

W1 = nn.Parameter(torch.randn(
    num_inputs, num_hiddens, requires_grad=True) * 0.01)
b1 = nn.Parameter(torch.zeros(num_hiddens, requires_grad=True))
W2 = nn.Parameter(torch.randn(
    num_hiddens, num_outputs, requires_grad=True) * 0.01)
b2 = nn.Parameter(torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True))

params = [W1, b1, W2, b2]

激活函数

我们将实现ReLU激活函数， 而不是直接调用内置的relu函数。

def relu(X):
    a = torch.zeros_like(X)
    return torch.max(X, a)

模型

因为我们忽略了空间结构， 所以我们使用reshape将每个二维图像转换为一个长度为num_inputs的向量。 只需几行代码就可以实现我们的模型。

def net(X):
    X = X.reshape((-1, num_inputs))
    H = relu(X@W1 + b1)  # 这里“@”代表矩阵乘法
    return (H@W2 + b2)

损失函数

在这里我们直接使用高级API中的内置函数来计算softmax和交叉熵损失。

loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')

训练

多层感知机的训练过程与softmax回归的训练过程完全相同。 可以直接调用d2l包的train_ch3函数， 将迭代周期数设置为10，并将学习率设置为0.1.

num_epochs, lr = 10, 0.1
updater = torch.optim.SGD(params, lr=lr)
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater)

为了对学习到的模型进行评估，我们将在一些测试数据上应用这个模型。

d2l.predict_ch3(net, test_iter)

简洁实现

我们通过高级API 更简洁的实现多层感知机

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

模型

与softmax回归的简洁实现相比， 唯一的区别是我们添加了2个全连接层（之前我们只添加了1个全连接层）。 第一层是隐藏层，它包含256个隐藏单元，并使用了ReLU激活函数。 第二层是输出层。

net = nn.Sequential(nn.Flatten(),
                    nn.Linear(784, 256),
                    nn.ReLU(),
                    nn.Linear(256, 10))

def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)

net.apply(init_weights);

训练过程的实现与我们实现softmax回归时完全相同， 这种模块化设计使我们能够将与模型架构有关的内容独立出来。

batch_size, lr, num_epochs = 256, 0.1, 10
loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr)

train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)