权重衰减
我们可以使用正则化技术来解决一些过拟合问题，我们总是可以通过去收集更多的训练数据来缓解过拟合。 但这可能成本很高，耗时颇多，或者完全超出我们的控制，因而在短期内不可能做到。 假设我们已经拥有尽可能多的高质量数据，我们便可以将重点放在正则化技术上。在训练参数化机器学习模型时， 权重衰减（weight decay）是最广泛使用的正则化的技术之一， 它通常也被称为L2正则化。 这项技术通过函数与零的距离来衡量函数的复杂度， 因为在所有函数中，函数f = 0（所有输入都得到值） 在某种意义上是最简单的。 但是我们应该如何精确地测量一个函数和零之间的距离呢？ 没有一个正确的答案。
一种简单的方法是通过线性函数 $f(x) = w^Tx$中的权重向量的某个范数来度量其复杂性， 例如$\lVert w \rVert^2$。 要保证权重向量比较小， 最常用方法是将其范数作为惩罚项加到最小化损失的问题中。 将原来的训练目标最小化训练标签上的预测损失， 调整为最小化预测损失和惩罚项之和。 现在，如果我们的权重向量增长的太大， 我们的学习算法可能会更集中于最小化权重范数$\lVert w \rVert^2$。 这正是我们想要的。我们的损失由下式给出：
\[L(w, b) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}(w^Tx^{(i)} + b - y^{(i)})^2\]回想一下，$x^{(i)}$是样本的特征， $y^{(i)}$是样本的标签， $(w, b)$是权重和偏置参数。 为了惩罚权重向量的大小， 我们必须以某种方式在损失函数中添加$\lVert w \rVert^2$， 但是模型应该如何平衡这个新的额外惩罚的损失？ 实际上，我们通过正则化常数$\lambda$来描述这种权衡， 这是一个非负超参数，我们使用验证数据拟合：
\[L(w, b) + \frac{\lambda}{2} \lVert w \rVert^2\]对于$\lambda = 0$，我们恢复了原来的损失函数。 对于$\lambda > 0$，我们限制的大小。 这里我们仍然除以2：当我们取一个二次函数的导数时， 2和1/2会抵消，以确保更新表达式看起来既漂亮又简单。 为什么在这里我们使用平方范数而不是标准范数（即欧几里得距离）？ 我们这样做是为了便于计算。 通过平方范数，我们去掉平方根，留下权重向量每个分量的平方和。 这使得惩罚的导数很容易计算：导数的和等于和的导数。
此外，为什么我们首先使用$L_2$范数，而不是$L_1$范数。 事实上，这个选择在整个统计领域中都是有效的和受欢迎的。 $L_2$正则化线性模型构成经典的岭回归（ridge regression）算法， $L_1$正则化线性回归是统计学中类似的基本模型， 通常被称为套索回归（lasso regression）。 使用$L_2$范数的一个原因是它对权重向量的大分量施加了巨大的惩罚。 这使得我们的学习算法偏向于在大量特征上均匀分布权重的模型。 在实践中，这可能使它们对单个变量中的观测误差更为稳定。 相比之下，$L_1$惩罚会导致模型将权重集中在一小部分特征上， 而将其他权重清除为零。 这称为特征选择（feature selection），这可能是其他场景下需要的。
$L_2$正则化回归的小批量随机梯度下降更新如下式：
\[w \leftarrow (1 - \eta\lambda)w - \frac{\eta}{|\beta|}\sum_{i\in\beta}x^{(i)}(w^Tx^{(i)} + b -y^{(i)})\]我们根据估计值与观测值之间的差异来更新w。 然而，我们同时也在试图将w的大小缩小到零。 这就是为什么这种方法有时被称为权重衰减。 我们仅考虑惩罚项，优化算法在训练的每一步衰减权重。 与特征选择相比，权重衰减为我们提供了一种连续的机制来调整函数的复杂度。 较小的$\lambda $值对应较少约束的w， 而较大的$\lambda $值对w的约束更大。
高维线性回归
首先，我们像以前一样生成一些数据，生成公式如下：
\[y = 0.05 + \sum_{i=1}^d0.01x_i+\epsilon where \epsilon \sim \aleph(0, 0.01^2)\]我们选择标签是关于输入的线性函数。 标签同时被均值为0，标准差为0.01高斯噪声破坏。 为了使过拟合的效果更加明显，我们可以将问题的维数增加到d=200， 并使用一个只包含20个样本的小训练集。
%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l
n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)
从零开始实现
面我们将从头开始实现权重衰减，只需将$L_2$的平方惩罚添加到原始目标函数中。
初始化模型参数
我们将定义一个函数来随机初始化模型参数。
def init_params():
w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
return [w, b]
定义$L_2$范数惩罚
实现这一惩罚最方便的方法是对所有项求平方后并将它们求和。
def l2_penalty(w):
return torch.sum(w.pow(2)) / 2
定义训练代码实现
下面的代码将模型拟合训练数据集，并在测试数据集上进行评估。 线性网络和平方损失没有变化， 所以我们通过d2l.linreg和d2l.squared_loss导入它们。 唯一的变化是损失现在包括了惩罚项。
def train(lambd):
w, b = init_params()
net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
num_epochs, lr = 100, 0.003
animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
for epoch in range(num_epochs):
for X, y in train_iter:
# 增加了L2范数惩罚项，
# 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
l.sum().backward()
d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
if (epoch + 1) % 5 == 0:
animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())
忽略正则化直接训练
我们现在用lambd = 0禁用权重衰减后运行这个代码。 注意，这里训练误差有了减少，但测试误差没有减少， 这意味着出现了严重的过拟合。
train(lambd=0)
w的L2范数是： 12.963241577148438
使用权重衰减
下面，我们使用权重衰减来运行代码。 注意，在这里训练误差增大，但测试误差减小。 这正是我们期望从正则化中得到的效果。
train(lambd=3)
w的L2范数是： 0.3556520938873291
简洁实现
由于权重衰减在神经网络优化中很常用， 深度学习框架为了便于我们使用权重衰减， 将权重衰减集成到优化算法中，以便与任何损失函数结合使用。 此外，这种集成还有计算上的好处， 允许在不增加任何额外的计算开销的情况下向算法中添加权重衰减。 由于更新的权重衰减部分仅依赖于每个参数的当前值， 因此优化器必须至少接触每个参数一次。
在下面的代码中，我们在实例化优化器时直接通过weight_decay指定weight decay超参数。 默认情况下，PyTorch同时衰减权重和偏移。 这里我们只为权重设置了weight_decay，所以偏置参数不会衰减。
def train_concise(wd):
net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
for param in net.parameters():
param.data.normal_()
loss = nn.MSELoss(reduction='none')
num_epochs, lr = 100, 0.003
# 偏置参数没有衰减
trainer = torch.optim.SGD([
{"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},
{"params":net[0].bias}], lr=lr)
animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
for epoch in range(num_epochs):
for X, y in train_iter:
trainer.zero_grad()
l = loss(net(X), y)
l.mean().backward()
trainer.step()
if (epoch + 1) % 5 == 0:
animator.add(epoch + 1,
(d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())
train_concise(0)
w的L2范数： 13.727912902832031
train_concise(3)
w的L2范数： 0.3890590965747833